【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是邊BC上的一動點(不與點B、C重合),連接DE、點C關于直線DE的對稱點為C′,連接AC′并延長交直線DE于點P,F是AC′的中點,連接DF.
(1)求∠FDP的度數(shù);
(2)連接BP,請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關系,并證明;
(3)連接AC,若正方形的邊長為,請直接寫出△ACC′的面積最大值.
【答案】(1)45°;(2)BP+DP=AP,證明詳見解析;(3)﹣1.
【解析】
(1)證明∠CDE=∠C'DE和∠ADF=∠C'DF,可得∠FDP'=∠ADC=45°;
(2)作輔助線,構建全等三角形,證明△BAP≌△DAP'(SAS),得BP=DP',從而得△PAP'是等腰直角三角形,可得結論;
(3)先作高線C'G,確定△ACC′的面積中底邊AC為定值2,根據(jù)高的大小確定面積的大小,當C'在BD上時,C'G最大,其△ACC′的面積最大,并求此時的面積.
(1)由對稱得:CD=C'D,∠CDE=∠C'DE,
在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°,
∴AD=C'D,
∵F是AC'的中點,
∴DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF,
∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°;
(2)結論:BP+DP=AP,
理由是:如圖,作AP'⊥AP交PD的延長線于P',
∴∠PAP'=90°,
在正方形ABCD中,DA=BA,∠BAD=90°,
∴∠DAP'=∠BAP,
由(1)可知:∠FDP=45°
∵∠DFP=90°
∴∠APD=45°,
∴∠P'=45°,
∴AP=AP',
在△BAP和△DAP'中,
∵,
∴△BAP≌△DAP'(SAS),
∴BP=DP',
∴DP+BP=PP'=AP;
(3)如圖,過C'作C'G⊥AC于G,則S△AC'C=ACC'G,
Rt△ABC中,AB=BC=,
∴AC=,即AC為定值,
當C'G最大值,△AC'C的面積最大,
連接BD,交AC于O,當C'在BD上時,C'G最大,此時G與O重合,
∵CD=C'D=,OD=AC=1,
∴C'G=﹣1,
∴S△AC'C=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm,在△ABC所在平面內畫一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中的一個是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫的條數(shù)為( 。
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【題目】閱讀以下材料:對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾,納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前,直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.
對數(shù)的定義:一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a為底N的對數(shù),記作:記作:x=logaN.比如指數(shù)式24=16可以轉化為4=log216,對數(shù)式2=log525可以轉化為52=25.
我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質:
loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:logaM=m,logaN=n,則M=am,N=an
∴MN=aman=am+n,由對數(shù)的定義得m+n=loga(MN)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(MN)=logaM+logaN
解決以下問題:
(1)將指數(shù)式53=125轉化為對數(shù)式 ;
(2)log24= ,log381= ,log464= .(直接寫出結果)
(3)證明:證明loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).(寫出證明過程)
(4)拓展運用:計算計算log34+log312﹣log316= .(直接寫出結果)
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【題目】如圖,在一次綜合實踐活動中,小亮要測量一樓房的高度,先在坡面處測得樓房頂部的仰角為,沿坡面向下走到坡腳處,然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達處,測得樓房頂部的仰角為.已知坡面米,山坡的坡度(坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比),求樓房高度.(結果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A′B′C′,當兩個三角形重疊部分的面積為32時,它移動的距離AA′等于________.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,過點A作AE⊥BC于點E,延長BC至F,使CF=BE,連接DF.
(1)求證:四邊形AEFD是矩形;(2)若BF=8,DF=4,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△EBF為等腰直角三角形,點B為直角頂點, 四邊形ABCD是正方形.
⑴ 求證:△ABE≌△CBF;
⑵ CF與AE有什么特殊的位置關系?請證明你的結論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】思維探索:
在正方形ABCD中,AB=4,∠EAF的兩邊分別交射線CB,DC于點E,F,∠EAF=45°.
(1)如圖1,當點E,F分別在線段BC,CD上時,△CEF的周長是 ;
(2)如圖2,當點E,F分別在CB,DC的延長線上,CF=2時,求△CEF的周長;
拓展提升:
如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,過點B作BD⊥BC,連接AD,在BC的延長線上取一點E,使∠EDA=30°,連接AE,當BD=2,∠EAD=45°時,請直接寫出線段CE的長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著,它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系.“折竹抵地”問題源自《九章算術》中:“今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,問折者高幾何?”意思是:一根竹子,原高一丈,一陣風將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離竹子底部4尺遠(如圖),則折斷后的竹子高度為多少尺?(1丈=10尺)( )
A.3B.5C.4.2D.4
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