Question

（2013•樂(lè)清市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=5，AD=1，E是AB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)
AE=

9或

4

5

或

5+ 5

2

或

5- 5

2

時(shí)，△CDE是直角三角形．

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)是（0，5），C的坐標(biāo)是（5，0），D的坐標(biāo)是（1，5）．分C、D、E分別是直角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，求得CE的解析式，求得E的坐標(biāo)即可求得AE的長(zhǎng)，同理求得當(dāng)D是直角頂點(diǎn)時(shí)AE的長(zhǎng)，當(dāng)E是直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AE的長(zhǎng)．

解答：解：如圖建立坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)是（0，5），C的坐標(biāo)是（5，0），D的坐標(biāo)是（1，5）．
設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，則

k+b=5 5k+b=0

，
解得：

k=- 5 4 b= 25 4

，
則CD的解析式是：y=-

5

4

x+

25

4

，
在直角△CDE中，當(dāng)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)CE的坐標(biāo)是：y=

4

5

x+a，把C的坐標(biāo)代入得：4+a=0，解得：a=-4，則CE的解析式是y=

4

5

x-4，令x=0，解得：y=-4，則E的坐標(biāo)是（0，-4），則AE=9；
同理，當(dāng)D是直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)DE的坐標(biāo)是：y=

4

5

x+b，把D的坐標(biāo)代入得：

4

5

+b=5，解得：a=

21

5

，則DE的解析式是y=

4

5

x+

21

5

，令x=0，解得：y=

21

5

，則E的坐標(biāo)是（0，

21

5

），則AE=

4

5

；
當(dāng)E是直角頂點(diǎn)時(shí)，CD=

52+(5-1)2

=

41

，CD的中點(diǎn)是（3，

5

2

），設(shè)E的坐標(biāo)是（0，c），
則

32+(c- 5 2 )2

=

1

2

×

41

，
解得：c=

5± 5

2

，
故E的坐標(biāo)是（0，

5+ 5

2

）或（0，

5- 5

2

），
則AE=

5+ 5

2

或

5- 5

2

．
故答案是：9或

4

5

或

5+ 5

2

或

5- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及直角三角形的性質(zhì)，正確求得當(dāng)E是直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．