Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點E是DB延長線上的一點，且EA＝EC，分別延長AD、EC交于點F．

（1）求證：四邊形ABCD為菱形；

（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求證：ECCF＝AFAD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形知OA＝OC，結(jié)合EA＝EC知EO⊥AC，從而得證；

（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四邊形ABCD為菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，據(jù)此可證△FCD∽△FAE得，結(jié)合CD＝AD，AE＝CE可得答案．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，

又∵EA＝EC，

∴EO⊥AC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四邊形ABCD為菱形，

∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，

∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，

∴△FCD∽△FAE，

∴，
∵CD=AD，AE=CE，
∴ ，即ECCF=AFAD．