Question

【題目】如圖，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作，且，點(diǎn)在射線上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且滿足，，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)．

（1）用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；

（2）①線段的長(zhǎng)是________；

②線段的長(zhǎng)是_________；（用含的代數(shù)式表示）

（3）當(dāng)為何值時(shí)，有最小值？并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）時(shí)，的最小值．

【解析】

（1）首先證明，然后根據(jù)相似三角形性質(zhì)進(jìn)一步得出，再結(jié)合勾股定理所得的進(jìn)一步對(duì)式子進(jìn)行分析求解即可；

（2）①延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，通過證明，由此進(jìn)一步得出，然后再證明出，最后利用相似三角形性質(zhì)求出CD即可；②先證明，據(jù)此進(jìn)一步得出，由此得出，最后進(jìn)一步證明，從而得出答案即可；

（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，通過證明，由此得出，然后得出，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即時(shí)，的最小值，由此求出的最小值，最后根據(jù)題意進(jìn)一步求出即可.

（1）在和中，

∵，90°，

∴，

∴，即，

又根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

∴；

（2）

①

如圖，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，

∵，，且，

∴，則有，即，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

②∵，，

∴∠ABP+∠APB=∠ABP+∠ABQ=90°，

∴∠APB=∠ABQ，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

由①知，結(jié)合可得：，

∴，

∴，

故答案為：①8；②；

（3）

如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵∠BAP=∠BFP，∠APB=∠FPB，PB=PB，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，

∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即時(shí)，的最小值，

則的最小值．

此時(shí)，如圖所示，

其中，即，解得或（不符合題意，舍去）．