Question

【題目】如圖，在△ABC中∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2cm，動點(diǎn)P以3cm/s的速度由A沿射線AC方向運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度由B向CB的延長線方向運(yùn)動，連PQ交直線AB于D，則當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為s時(shí)，△ADP是等腰三角形．

Answer 1

【答案】 或3或
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2cm， ∴AC=2BC=4cm，AB=ACcosA=4× =2 cm，
設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，則AP=3t，BQ=t，
①當(dāng)PA=PD時(shí)，如圖1，

則∠BDQ=∠PDA=∠A=30°，
∴∠C=∠CPQ=60°，DQ=2BQ=2t，
∴PQ=PC=AC﹣AP=4﹣3t，
∴PD=PQ﹣DQ=4﹣3t﹣2t=4﹣5t，
則4﹣5t=3t，
解得：t= ；
②當(dāng)AP=AD時(shí)，如圖2，

則∠ADP=∠BDQ= =75°，
∴∠DQB=15°，
以DQ為邊在∠BDQ內(nèi)部作∠EDQ=∠DQB=15°，
∴設(shè)DE=QE=x，∠DEB=30°，
∴BE=BQ﹣EQ=t﹣x，
由cos∠DEB= 得 ，
解得：x=2（2﹣ ）t，即DE=2（2﹣ ）t，
∴BD=DEsin∠DEB=（2﹣ ）t，
∴AD=AB﹣BD=2 ﹣（2﹣ ）t，
由AP=AD得3t=2 ﹣（2﹣ ）t，
解得：t= ；
③當(dāng)DA=DP時(shí)，如圖3，

則∠A=∠APD=30°，
∴∠CQP=∠ACB﹣∠APD=30°，
∴∠CQP=∠APD=30°，
∴CP=CQ，則3t﹣4=2+t，
解得：t=3，
綜上，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為 或3或 s時(shí)，△ADP是等腰三角形．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等才能正確解答此題．