Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一點(diǎn)，且FD⊥BC于D點(diǎn)．

(1)試猜想∠EFD，∠B，∠C的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由．

①　　　　　　　　②

Answer 1

【答案】(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由見解析.

【解析】

先根據(jù)AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根據(jù)外角的定義求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性質(zhì)求出∠EFD=90°-∠FED．

解：(1)∠EFD＝∠C－∠B.

理由如下：由AE是∠BAC的平分線知∠BAE＝∠BAC.

由三角形外角的性質(zhì)知∠FED＝∠B＋∠BAC，

故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.

在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得

∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，

即∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②.

②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.

(2)成立．

理由如下：由對(duì)頂角相等和三角形的外角性質(zhì)知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC，

故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.

在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：

∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.