【題目】如圖1,菱形ABCD中,A=60°,點P從A出發(fā),以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止,點Q從A與P同時出發(fā),沿邊AD勻速運動到D終止,設(shè)點P運動的時間為t(s).APQ的面積S(cm2)與t(s)之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出.

(1)求點Q運動的速度;

(2)求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式;

(3)問:是否存在這樣的t,使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1:5的兩部分?若存在,求出這樣的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)點Q運動的速度是1cm/s;(2);(3)存在,t=或t=.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)圖象中E點所代表的實際意義求解.E點表示點P運動到與點B重合時的情形,運動時間為3s,可得AB=6cm;再由SAPQ=,可求得AQ的長度,進(jìn)而得到點Q的運動速度;

(2)函數(shù)圖象中線段FG,表示點Q運動至終點D之后停止運動,而點P在線段CD上繼續(xù)運動的情形.如答圖2所示,求出S的表達(dá)式,并確定t的取值范圍;

(3)當(dāng)點P在AB上運動時,PQ將菱形ABCD分成APQ和五邊形PBCDQ兩部分,如答圖3所示,求出t的值;當(dāng)點P在BC上運動時,PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如答圖4所示,求出t的值.

試題解析:(1)由題意,可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形,所用時間為3s,則菱形的邊長AB=2×3=6cm.此時如答圖1所示:

AQ邊上的高h(yuǎn)=ABsin60°=6×=cm, S=SAPQ= AQh=AQ×3=,解得AQ=3cm. 點Q的運動速度為:3÷3=1cm/s.(2)由題意,可知題圖2中FG段表示點P在線段CD上運動時的情形.如答圖2所示:

點Q運動至點D所需時間為:6÷1=6s,點P運動至點C所需時間為12÷2=6s,至終點D所需時間為18÷2=9s.
因此在FG段內(nèi),點Q運動至點D停止運動,點P在線段CD上繼續(xù)運動,且時間t的取值范圍為:6t9.過點P作PEAD交AD的延長線于點E,則PE=PDsin60°=(18-2t)×,

S=SAPQ=ADPE=×6×+)=.

FG段的函數(shù)表達(dá)式為:S=(6t9).

(3)菱形ABCD的面積為:6×6×sin60°=18,

當(dāng)點P在AB上運動時,PQ將菱形ABCD分成APQ和五邊形PBCDQ兩部分,如答圖3所示.
此時APQ的面積S=AQAPsin60°=t2t×=,

根據(jù)題意,得=,

解得:t=s,

當(dāng)點P在BC上運動時,PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如答圖4所示.
此時,有S梯形ABPQ=S菱形ABCD,即(2t-6+t)×6×=×18,

解得t=s,

答:存在,當(dāng)t=時,使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1:5的兩部分.

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