Question

【題目】如圖，點E在矩形ABCD對角線AC上由A向C運動，且BC＝2，∠ACB＝30°，連結(jié)EF，過點E作EF⊥DE，交BC于點F（當點F與點C重合時，點E也停止運動）

（1）如圖1，當AC平分角∠DEF時，求AE的長度；

（2）如圖2，連結(jié)DF，與AC交于點G，若DF⊥AC時，求四邊形DEFC的面積；

（3）若點E分AC為1：2兩部分時，求BF：FC．

Answer 1

【答案】（1）3﹣；（2）；（3）BF：CF＝4：5或BF：CF＝8：1．

【解析】

（1）如圖1中，作DM⊥AC于M，解直角三角形求出CM，EM，AC即可解決問題；

（2）解直角三角形求出DG，FG，CG，利用相似三角形的性質(zhì)求出EG，根據(jù)S四邊形DEFC＝DFCE求解即可；

（3）分兩種情形：①如圖1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．解直角三角形求出EN，DN，EM，再利用相似三角形的性質(zhì)求出MF即可解決問題．②若AE：CF＝2：1時，同法可求．

解：（1）如圖1中，作DM⊥AC于M，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝，

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝CD＝BCtan30°＝2，AC＝2AB＝4，

在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，

∴∠CDM＝30°，

∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，

∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，

∴∠DEM＝∠DEF＝45°，

∴EM＝DM＝，

∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3﹣；

（2）如圖2中，

∵DF⊥AC，

∴∠DGC＝90°，

在Rt△CDG中，∵CD＝2，∠DCG＝60°，

∴∠CDG＝30°，

∴CG＝CD＝1，DG＝，

∴FG＝CGtan30°＝，

∵∠FEG+∠DEG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，

∴∠FEG＝∠EDG，

∵∠EGF＝∠DGE＝90°，

∴△EGF∽△DGE，

∴，

∴，

∴EG＝1，

∴S四邊形DEFC＝DFCE＝×2×＝；

（3）①如圖1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．

∵AB＝CD＝2，AC＝4，AE：EC＝1：2，

∴AE＝，EC＝，

在Rt△CEN中，∵∠ECN＝30°

∴CN＝EC＝，EN＝CN＝，

∴DN＝2﹣＝，

在Rt△CEM中，∵∠ECM＝30°，

∴EM＝EC＝，CM＝EM＝，

∵DE⊥EF，

∴∠DEF＝∠NEM＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

∵∠END＝∠EMF＝90°，

∴△END∽△EMF，

∴ ，可得MF＝，

∴CF＝CM﹣MF＝，BF＝﹣CF＝，

∴BF：CF＝4：5；

②若AE：CF＝2：1時，同法可得BF：CF＝8：1．

綜上所述，BF：CF＝4：5或BF：CF＝8：1．