Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.將其繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（且），得到Rt△.

（1）如圖，當(dāng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn) D作DE∥

交邊于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE.

① 當(dāng)時(shí)，設(shè)AD=，BE=，求與之間的函數(shù)解析式及自變量 的取值范圍；

② 當(dāng)時(shí)，求AD的長(zhǎng).

      

Answer 1

（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．           ………………………1分

由旋轉(zhuǎn)可知：，，

∴△為等邊三角形．……………2分

∴＝． ……………3分

（2）① 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖）.

∵ DE∥，     ∴ .

     由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.

∴   ∴ .

∴ △CAD∽△CBE.                 ………………………………………………6分

∴.∵∠A=30°  ∴.

∴（0﹤﹤2）            ………………………………………………8分

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上

AD=x，，∠DBE=90°.

此時(shí)，.

     當(dāng)S =時(shí)，.整理，得 .

解得 ，即AD=1.          ………………………………………………10分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上（如圖）.

     仍設(shè)AD=x，則，∠DBE=90°.

     .

     當(dāng)S =時(shí)，.

     整理，得 .

解得 ，（負(fù)值，舍去）.

     即.                    ………………………………………………12分

 綜上所述：AD=1或.