Question

如圖，圓內(nèi)接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC于E．

（1）求證：∠BCD=∠CBD；

（2）若BE=4，AC=6，求DE的長．

 

Answer 1

【答案】

(1)詳見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）由題目條件OD⊥BC于E，可知OD平分弧BC（垂徑定理），即弧BD=弧CD，∠BCD是弧BD所對的圓周角，∠CBD是弧CD所對的圓周角，由圓周角定理，同弧或等弧所對的圓周角相等可以得到∠BCD=∠CBD;(2) 由題目條件OD⊥BC于E，可知OD平分弦BC（垂徑定理），即BE= CE=4，所以BC=8，因為AB是⊙O的直徑，所以∠C為直角，在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2.

試題解析：(1)∵OD⊥BC于E，

∴OD平分弧BC（垂徑定理），即弧BD=弧CD，

又∵∠BCD是弧BD所對的圓周角，∠CBD是弧CD所對的圓周角，

由圓周角定理知∠BCD=∠CBD.

(2) ∵OD⊥BC于E，

∴OD平分弦BC（垂徑定理），即BE= CE=4，BC=8，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠C為直角，

在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，

在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2.

考點：1.圓周角定理和垂徑定理；2.垂徑三角形三邊的關(guān)系.