Question

【題目】等邊三角形ABC的邊長為4 cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿AB的延長線BF向右運(yùn)動，已知點(diǎn)D，E都以每秒 cm的速度同時開始運(yùn)動，運(yùn)動過程中DE與BC相交于點(diǎn)P.

(1).當(dāng)點(diǎn)D，E運(yùn)動多少秒后，△ADE為直角三角形?

(2)在點(diǎn)D，E運(yùn)動時，線段PD與線段PE相等嗎?如果相等，予以證明;如不相等，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相等，證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)當(dāng)點(diǎn)D，E運(yùn)動秒后，△ADE為直角三角形，則，， ，，根據(jù)30°角的直角邊＝斜邊的一半建立方程，求出其解即可；
（2）作DG∥AB交BC于點(diǎn)E，證明△DGP≌△EBP，就可以得出PD＝PE．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
設(shè)當(dāng)點(diǎn)D，E運(yùn)動秒后，△ADE為直角三角形，
∴∠ADE＝90°，，， ，，
∴∠AED＝30°，
∴AE＝2AD，
∴，
解得：；
答：當(dāng)點(diǎn)D，E運(yùn)動秒后，△ADE為直角三角形運(yùn)動；
（2）線段PD與線段PE相等，證明如下：

證明：作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，

∴∠GDP＝∠BEP，∠DGP＝∠EBP，∠CDG＝∠A＝60°，∠CGD＝∠ABC＝60°，
∴∠C＝∠CDG＝∠CGD，
∴△CDG是等邊三角形，
∴DG＝DC，
∵DC＝BE，
∴DG＝BE．
在△DGP和△EBP中
，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴PD＝PE．