Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為底邊作等腰三角形△ACD，AD=CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．

（1）求證：AE=CE=BE；

（2）若AB=15cm，BC=9cm，點(diǎn)P是射線DE上的一點(diǎn)．則當(dāng)點(diǎn)P為何處時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)、當(dāng)P與E重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小值為24cm

【解析】

試題分析：(1)、首先證明EA=EC，再證明EC=EB即可解決問(wèn)題．(2)、先說(shuō)明P與E重合時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，最小值=AB+AC．

試題解析：(1)、∵DA=DC，DF⊥AC，∴AF=CF， ∴DE垂直平分線段AC，∴EA=EC， ∴∠EAC=∠ECA，

∵∠ACB=90°， ∴∠EAC+∠B=90°，∠ECA+∠ECB=90°， ∴∠ECB=∠B， ∴EC=EB=EA．

(2)、連接PB、PC、PA． 要使得△PBC的周長(zhǎng)最小，只要PB+PC最小即可． ∵PB+PC=PA+PB≥AB，

∴當(dāng)P與E重合時(shí)，PA+PB最小， ∴△PBC的周長(zhǎng)最小值=AB+BC=15+9=24cm．