【題目】如圖,已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為點(diǎn)C,直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,8),點(diǎn)B在y軸上.
(1)求m的值和該二次函數(shù)的表達(dá)式.為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線,與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
①設(shè)線段PE的長為h,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
②若直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為D,求當(dāng)四邊形DCEP是平行四邊形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P(x,y)為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探究:以PB為直徑的圓能否與坐標(biāo)軸相切?如果能請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)m=3,拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3
(2)①h=PE=x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+5x,(0≤x≤5)
②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,6)
(3)故存在點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(﹣6+3,﹣3+3)或P(﹣6﹣3,﹣3﹣3)時(shí),以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)A在直線AB上,求出直線解析式,再根據(jù)點(diǎn)A,B求出拋物線的解析式;
(2)①根據(jù)點(diǎn)P在直線AB上,表示出點(diǎn)P,求出h=PE;
②由DC∥PE,只要DC=PE即可,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)由點(diǎn)P在直線AB上,確定出點(diǎn)P到x,y軸的距離,再由以BC為直徑的圓與坐標(biāo)軸相切,求出點(diǎn)P坐標(biāo).
試題解析:(1)A的坐標(biāo)為(5,8)在直線y=x+m上,
∴8=5+m,
∴m=3,
∴直線AB解析式為y=x+3,
∴B(0,3),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+k,
∵點(diǎn)A,B在拋物線上,
∴,
∴,
∴拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3,頂點(diǎn)C(2,﹣1)
(2)①∵點(diǎn)P在線段AB上,
∴P(x,x+3)(0≤x≤5),
∵PE⊥x軸,交拋物線與E,P(x,x+3),
∴E(x,x2﹣4x+3),
∴h=PE=x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+5x,(0≤x≤5)
②∵直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為D,
∴D(2,5),
∴DC=6,
∵四邊形DCEP是平行四邊形,
∴PE=DC=6,
∵PE=|﹣x2+5x|,
Ⅰ、當(dāng)0≤x≤5時(shí),﹣x2+5x=6,
∴x1=2(舍),x2=3,
∴P(3,6),
Ⅱ、當(dāng)x<0,或x>5時(shí),x2﹣5x=6,
∴x3=﹣1,x4=6,
∴P(﹣1,2)或P(6,9),(舍)
即:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,6)
(3)∴點(diǎn)P(x,y)為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴P(x,x+3),
∴點(diǎn)P到x軸的距離為|x+3|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,
∵點(diǎn)B(0,3),
∴BP=|x|,
∵以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切,
∴①以PB為直徑的圓能與y軸相切,
∴|x|=|x|,
∴x=0(舍),
②以PB為直徑的圓能與x軸相切,
∴|x+3|=|x|,
∴x=﹣6﹣3或x=﹣6+3,
∴P(﹣6﹣3,﹣3+3)或P(﹣6﹣3,﹣3﹣3).
故存在點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(﹣6+3,﹣3+3)或P(﹣6﹣3,﹣3﹣3)時(shí),以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切.
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