Question

【題目】在矩形ABCD中， =a，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．

（1）如圖1，當DH=DA時，填空：∠HGA=度；
（2）如圖1，當DH=DA時，若EF∥HG，求∠AHE的度數，并求此時的最小值；
（3）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊DC于點P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）

解：分兩種情況討論：

第一種情況：

∵∠HAG=∠HGA=45°；

∴∠AHG=90°，

由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，

∴∠FHG=∠F=45°，

∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，

即∠AHE+∠FHE=45°，

∴∠AHE=22.5°，

此時，當B與G重合時，a的值最小，最小值是2；

第二種情況：

∵EF∥HG，

∴∠HGA=∠FEA=45°，

即∠AEH+∠FEH=45°，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH，

∴∠AEH=∠FEH=22.5°，

∵EF∥HG，

∴∠GHE=∠FEH=22.5°，

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，

此時，當B與E重合時，a的值最小，

設DH=DA=x，則AH=GH= x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：

AG= AH=2x，

∵∠AEH=∠GHE=22.5°，

∴GH=GE= x，

∴AB=AE=2x+ x，

∴a的最小值是 =2+ .

（3）

解：如圖：過點H作HQ⊥AB于Q，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，

∴四邊形DAQH為矩形，

∴AD=HQ，

設GB=x，則EG=2x，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，

∴∠FEG=60°，

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4x，

∴AG=6x

∵HA=HG，HQ⊥AB，

∴AQ=GQ=3x

∴EQ=x

在Rt△HQE中，

∵∠AEH=60°

∴HQ= x

∴a= = ．

【解析】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，
∴∠DAH=∠DHA=45°，
∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，
∴∠HAE=∠HGA=45°；
所以答案是：45°；
·（3）另解：
如圖：過點H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GOH=90°，
則∠AQH=∠GQH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，
∴四邊形DAQH為矩形，
∴AD=HQ，
設AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，
由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，
∴∠FEG=60°，
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，則EF=4y，
在Rt△HQE中，EQ= = x，
∴QG=QE+EG= x+2y，
∵HA=HG，HQ⊥AB，
∴AQ=GQ= x+2y，
∴AE=AQ+QE= x+2y，
由折疊可知：AE=EF，
∴ x+2y=4y，
∴y= x，
∴AB=2AQ+GB=2（ x+2y）+y= x，
∴a= = ．
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和矩形的性質的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．