Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
（1）求證：BE=CF；
（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE=DN.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析.

試題分析：（1）通過角的轉(zhuǎn)換和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，從而ASA證明△ABF≌△ACF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到結(jié)論.
（2）①過E點(diǎn)作EG⊥AB于點(diǎn)G，通過證明EG是BM的垂直平分線就易得出結(jié)論.
②通過證明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN來證明結(jié)論.
試題解析：（1）如圖，∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.
（2）①如圖，過E點(diǎn)作EG⊥AB于點(diǎn)G，
∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG，∠3=45°.
∵BM=2DE，∴BM=2BG，即點(diǎn)G是BM的中點(diǎn).∴EG是BM的垂直平分線.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC，∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵M(jìn)C=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.