Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點C是⊙O上一點（不與A，B重合），連接AC，BC，過點O作OD∥AC交BC于點D，在OD的延長線上取一點E，連接EB，使∠OEB=∠ABC．
（1）試判斷直線BE與⊙O的位置關(guān)系；并說明理由．
（2）若OA=10，BC=16，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠ACB=90°根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠ODB=∠ACB=90°，求出∠BOD+∠OEB=90°，即∠OBE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)解直角三角形求出tanA==tan∠BOE，根據(jù)tan∠BOE==，求出BE即可．
解答：解：（1）BE與⊙O的相切，
理由是：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴∠BOD+∠ABC=90°，
又∵∠OEB=∠ABC，
∴∠BOD+∠OEB=90°，
∴∠OBE=90°，
∵AB是半圓O的直徑，
∴BE是⊙O的切線；

（2）∵在Rt△ACB中，AB=2OA=20，BC=16，
∴由勾股定理得：AC===12，
∴tanA===，
∠BOE=∠A，
∴tan∠BOE==，
∴BE=OE=×10=13．
點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，切線的判定，平行線性質(zhì)等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生推理能力．