Question

【題目】（探究發(fā)現(xiàn)）

如圖1，在△ABC中，點P是內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，試猜想∠P與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

（遷移拓展）

如圖2，在△ABC中，點P是內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的n等分線的交點，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，

試猜想∠P與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

（應用創(chuàng)新）

已知，如圖3，AD、BE相交于點C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分線交于點P，∠A＝35°，∠E＝25°，則∠BPD＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠A＝2∠P；（2）∠A＝n∠P；（3）30°.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)已知條件以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果．

解：（1）∠A＝2∠P，理由如下：

∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，

∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角，

∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P，

∴∠ACD＝∠ABC+∠A，

∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，

∴∠A＝2∠P；

（2）∠A＝n∠P，理由如下：

∵點P是內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的n等分線的交點，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACE．

∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角，

∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P，

∴∠ACD＝∠ABC+∠A，

∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，

∴∠A＝n∠P；

（3）∵∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分線交于點P，

∴由（1）的結(jié)論知，∠BPC＝∠A＝°，∠CPD＝∠E＝°，

∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC＝30°，

故答案為：30°．