Question

設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實(shí)根，當(dāng)a為何值時(shí)，x₁²+x₂²有最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析：設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實(shí)根，首先：△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0可求得a≤

1

2

，得到了關(guān)于a的取值范圍．對要求值的式子化簡：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4，設(shè)y=2（a-2）²-4，這是一個(gè)關(guān)于a的一元二次方程，其對稱軸是a=2，開口方向向上．根據(jù)開口向上的二次函數(shù)的性質(zhì)：距對稱軸越近，其函數(shù)值越�。�故在a≤

1

2

的范圍內(nèi)，當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁²+x₂²的值最�。淮藭r(shí)

x

2 1

+

x

2 2

=2(

1

2

-2)2-4=

1

2

，即最小值為

1

2

．

解答：解：∵△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0，∴a≤

1

2

又∵x₁+x₂=-2a，x₁x₂=a²+4a-2．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4．
設(shè)y=2（a-2）²-4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)．
∵a≤

1

2

∴當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁²+x₂²的值最�。�
此時(shí)

x

2 1

+

x

2 2

=2(

1

2

-2)2-4=

1

2

，即最小值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)關(guān)系，兩根之和是-

b

a

，兩根之積是

c

a

．還考查了用二次函數(shù)性質(zhì)解決二次三項(xiàng)式的最小值問題可以轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)解決．