【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,取EF的中點(diǎn)G,連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論:
①BE=CD;
②∠DGF=135°;
③△BEG≌△DCG;
④∠ABG+∠ADG=180°;
⑤若,則3S△BDG=13S△DGF.
其中正確的結(jié)論是_____.(請(qǐng)?zhí)顚懰姓_結(jié)論的序號(hào))
【答案】①③④⑤
【解析】
①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠BAD=∠ABC=90°,AB=CD,再由角平分線的性質(zhì)可得出∠BAE=45°,通過角的計(jì)算即可得出∠BAE=∠BEA,從而得出AB=BE=CD,即①正確;②根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可得出△CEF為等腰直角三角形,由此得出∠CGF=90°,∠FCG=45°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠CGD<45°,再由角的關(guān)系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF<135°,即②不正確;③通過角的計(jì)算可得出∠BEG=∠DCG,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CG=EG,由此即可利用全等三角形的判定定理(SAS)證出△BEG≌△DCG,即③正確;④由③可得出∠EBG=∠CDG,根據(jù)角的計(jì)算即可得出∠ABG+∠ADG=180°,即④正確;⑤過點(diǎn)G作GM⊥DF于點(diǎn)M,設(shè)AB=2a(a>0),則AD=3a,利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積公式可算出S△BDG和S△DGF的值,由此可得出⑤正確.綜上即可得出結(jié)論.
解:①∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,AB=CD,
∵AE是∠BAD的角平分線,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴∠AEB=90°﹣∠BAE=45°=∠BAE,
∴BE=AB=CD,①正確;
②∵AB∥CD,
∴∠CFE=∠BAE=45°,∠CEF=∠AEB=45°,
∴△CEF為等腰直角三角形,
∵點(diǎn)G為EF的中點(diǎn),
∴CG⊥EF,∠CGF=90°,∠FCG=45°,
∵∠FCG=∠CGD+∠CDG=45°,
∴∠CGD<45°,
∴∠DGF=∠CGD+∠CGF<45°+90°=135°,②不正確;
③∵△CEF為等腰直角三角形,
∴CG=EG.
∵∠BEG=180°﹣∠CEF=135°,∠DCG=180°﹣∠FCG=135°,
∴∠BEG=∠DCG,
在△BEG和△DCG中,有,
∴△BEG≌△DCG(SAS),③正確;
④∵△BEG≌△DCG,
∴∠EBG=∠CDG,
∵∠ABG=∠ABC+∠EBG,∠ADG=∠ADC﹣∠CDG,
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠ADC=180°,④正確;
⑤過點(diǎn)G作GM⊥DF于點(diǎn)M,如圖所示.
∵=,
∴設(shè)AB=2a(a>0),則AD=3a.
∵∠DAF=45°,∠ADF=90°,
∴△ADF為等腰直角三角形,
∴DF=AD=3a.
∵△CGF為等腰直角三角形,
∴GM=CM=CF=(DF﹣CD)=a,
∴S△DGF=DFGM=×3a×a=.
S△BDG=S△BCD+S梯形BGMC﹣S△DGM=×2a×3a+×(3a+a)×a﹣×a×(2a+a)=.
∴3S△BDG=13S△DGF,⑤正確.
綜上可知:正確的結(jié)論有①③④⑤.
故答案為:①③④⑤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,過點(diǎn)D向AB,AC兩邊作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),那么下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A. BD=CD B. DE=DF C. AE=AF D. ∠ADE=∠ADF
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,點(diǎn)E在AB上,∠DEC=90°.
(1)求證:△ADE∽△BEC.
(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測(cè)量建筑物AB的高度,在D處樹立標(biāo)桿CD,標(biāo)桿的高是2m,在DB上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F,從E測(cè)得標(biāo)桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58°、45°.從F測(cè)得C、A的仰角分別為22°、70°.求建筑物AB的高度(精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù):tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,tan70°≈2.75.)
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【題目】如圖,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 為邊 BC 上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB 于 E,PF⊥AC于 F,M 為 EF 中點(diǎn),則 AM 的最小值為( )
A.1B.1.3C.1.2D.1.5
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【題目】已知△ABC,以AB為直徑的⊙O分別交AC于D,BC于E,連接ED,若ED=EC.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=,求CD的長(zhǎng).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A、∠B 、∠C、 ∠D 的角平分線恰相交于一點(diǎn)P,記作△APD、△APB、△BPC、△DPC的面積分別為、、、則下列關(guān)系式正確的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與正比例函數(shù)y=3x的圖象交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k、b的值;
(2)若點(diǎn)D在y軸上,且滿足S△COD=S△BOC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AD>AB,AM、BN、CP、DQ為四個(gè)內(nèi)角的角平分線,P、為AD邊上兩點(diǎn),其中AM與DQ相交于E,BN與CP相交于F,AM與BN相交于G,CP與DQ相交于H.
(1)求證:四邊形EHFG是矩形.
(2)ABCD滿足 時(shí),四邊形EHFG為正方形;ABCD滿足 時(shí),F點(diǎn)落在AD邊上.(與點(diǎn)P、點(diǎn)N重合)
(3)探究矩形EHFG的對(duì)角線長(zhǎng)度與ABCD的邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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