Question

12．在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為線段AB上一點，連接CD．
（1）如圖1，若D為線段AB中點，過點C、點B分別作CD、AB的垂線相交于點E，連接AE，若AC=4，求AE的長．
（2）如圖2，過點C、點B分別作CD、AB的垂線相交于點E，連接AE，取AE的中點為F，連接CF，求證：4CF²+BE²=2CD²．
（3）如圖3，過點B作BH⊥CD于點H，取AB的中點為M，連接HM，若CH：HB=1：5，請直接寫出$\frac{CB}{HM}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形CDBE是正方形，求出BE、AB，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖2中，延長AC、BE交于點M，連接DE，由△ACD≌△BCE，推出CD=CE，AD=BE，再證明BD=ME=2CF，在Rt△DBE中，根據(jù)BE²+BD²=BE²+EM²=BE²+（2CF）²=ED²，即可證明．
（3）如圖3中，連接CM，過A作AN⊥CD于N，連接MN，首先證明△ACN≌△BCH，△CHM≌△ANM，推出MN=MH，∠HMN=∠HMA+∠NMA=∠HMA+∠HMC=∠CMA=90°，推出△HMN是等腰直角三角形，由CH：HB=1：5，設(shè)CH=x，HB=5x，則CB=$\sqrt{26}$x，推出CN=BH=5x，NH=CN-CH=4x，MH=2$\sqrt{2}$x，由此即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵AD=DB，
∴AD=DB=CD=2$\sqrt{2}$，CD⊥AB，
∵CD⊥CE，BD⊥BE，
∴∠DCE=∠EBD=∠CDB=90°，
∴四邊形CDBE是矩形，
∵CD=BD，
∴四邊形CDBE是正方形，
∴BE=CD=2$\sqrt{2}$，∠EBD=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

（2）如圖2中，延長AC、BE交于點M，連接DE，

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠BCM=90°，∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC．
∵CD⊥CE，BD⊥BE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CBE=45°
∴∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠CBE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD=CE，AD=BE，
∵∠CBE=∠CMB=45°，
∴BC=CA=CM，
∵BC⊥AM，
∴BA=BM，
∵AC=CM，AF=FE，
∴ME=2CF，
∴AB-AD=BM-BE，
∴BD=ME=2CF，
在Rt△DBE中，BE²+BD²=BE²+EM²=BE²+（2CF）²=ED²，
即BE²+4CF²=（$\sqrt{2}$CD）²=2CD²．

（3）如圖3中，連接CM，過A作AN⊥CD于N，連接MN，

∵BH⊥CD，AN⊥CD，
∴∠ANC=∠BHC=90°，
∵∠2+∠BCH=90°，∠2+∠CAN=90°，
∴∠BCH=CAN，
在△ACN和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠BHC}\\{∠CAN=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCH，
∴AN=CH，CN=BH，
∵M(jìn)A=MB，∠ACB=90°，
∴CM=AM，∠CMA=90°，
∵∠AND=∠CMD=90°，∠ADN=∠CDM，
∴∠1=∠3，
∴△CHM≌△ANM，
∴MN=MH，∠HMN=∠HMA+∠NMA=∠HMA+∠HMC=∠CMA=90°，
∴△HMN是等腰直角三角形，
∵CH：HB=1：5，設(shè)CH=x，HB=5x，則CB=$\sqrt{26}$x，
∴CN=BH=5x，NH=CN-CH=4x，MH=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{CB}{HM}$=$\frac{\sqrt{26}x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．