Question

【題目】已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∠EDF=90°．

（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖①，若點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，則圖中全等三角形一共有 對(duì)；

（2）（類比探究）若將∠EDF繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E、F點(diǎn)分別在AB、CA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=AF嗎？請(qǐng)利用圖②說(shuō)明理由．

（3）（解決問(wèn)題）連結(jié)EF，把△EDF把繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到DF與△ABC的腰所在的直線垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDF的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）3；（2）BE=AF；見(jiàn)解析；（3）45°或135°．

【解析】

（1）有3對(duì)，即△EDB≌△FDA，△EDA≌△FDC，△ADB≌△ADC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），其余同理可證得；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=AF．

（3）畫(huà)出符合條件的圖形即可求解.

（1）有3對(duì)，即△EDB≌△FDA，△EDA≌△FDC，△ADB≌△ADC.證明如下：

∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，

∴△ADB≌△ADC；

∵∠EDB+∠EDA=90°，∠EDA+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，，

∴△EDB≌△FDA，

同理可證△EDA≌△FDC.

（2）BE=AF，證明如下：

連接AD，如圖②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

（3）45°或135°．如圖所示：

∵DF⊥AC,

∴∠CDF=45°,

∴∠BDF=135°；

或者

∵DF⊥AB,

∴∠BDF=45°；

故答案是：45°或135°．