Question

【題目】如圖，在平面直角系xOy中，直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（0，﹣6），點(diǎn)C在線段OA上，將△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A與y軸上的點(diǎn)D（0，4），恰好重合．

（1）求A點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在y軸是否存在一點(diǎn)H，使得△HAB和△ABC的面積相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

（3）已知點(diǎn)E（0，3），P是直線BC上一動點(diǎn)（P不與B重合），連接PD、PE，求△PDE周長的最小值，并求出此BP長．

Answer 1

【答案】（1）A（8，0），C（3，0）；（2）存在，（0，﹣），（0，﹣）；（3）△PDE的周長的最小值+1，.

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得BD＝AB＝10，AC＝DC，由勾股定理可求AO＝8，AC＝5，即可求點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）△HAB和△ABC的面積相等，則點(diǎn)H在直線m、n與y軸的交點(diǎn)上，求出直線m、n的表達(dá)式即可求解；

（3）連接AE交BC于點(diǎn)P，則此時(shí)△PDE的周長取得最小值，即可求解．

解：（1）∵B（0，﹣6），D（0，4），

∴BD＝10，

∵將△ABC沿直線BC翻折，

∴BD＝AB＝10，AC＝DC，

∴AO＝＝＝8，

∴點(diǎn)A（8，0）

∵CD2＝DO2+CO2，

∴AC2＝16+（8﹣AC）2，

∴AC＝5，

∴CO＝3，

∴點(diǎn)C（3，0）

（2）過點(diǎn)C作直線m∥AB，

∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（0，﹣6），點(diǎn)A坐標(biāo)（8，0），

∴直線AB的解析式為：y＝x﹣6

∵直線m∥AB，

∴設(shè)直線m的解析式為：y＝x+b，且過點(diǎn)C，

∴0＝×3+b，

∴b＝﹣

直線m的解析式為：y＝x﹣，

在直線AB下方與直線m等距離處作直線n，

則直線n的表達(dá)式為：y＝x﹣，

∵△HAB和△ABC的面積相等，則點(diǎn)H在直線m、n與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)上，

∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（0，﹣），（0，﹣）；

（3）∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC對稱，

∴連接AE交BC于點(diǎn)P，

則此時(shí)△PDE的周長取得最小值，

∵點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)E（0，3）

∴AE＝

∴△PDE的周長的最小值＝DE+DP+PE＝+1

由點(diǎn)E、A的坐標(biāo)，同理可得：直線AE的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，

同理直線BC的表達(dá)式為：y＝2x﹣6，

∴

∴

∴點(diǎn)P（，）

∵點(diǎn)B（0，﹣6）

∴BP＝.