Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以 個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；
（3）過點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

∵將A（3，0），B（0，3）代入得： ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時(shí)．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA= t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即 ．

解得：t=1．

如圖②所示：∠QPA=90°時(shí)．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA= t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， = ，即 ．

解得：t= ．

綜上所述，當(dāng)t=1或t= 時(shí)，△PQA是直角三角形．

（3）

解：如圖③所示：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴四邊形EFQP為平行四邊形．

∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）．

【解析】（1）先求得直線AB與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式；（2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知OB=OA，從而可求得∠BAO=45°，然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可；（3）由題意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四邊形EFQP為平行四邊形，從而得到PE=FQ，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）則可表示出點(diǎn)Q、E、F的坐標(biāo)，從而可求得PE、FQ的長，最后根據(jù)PE=FQ列方程求解即可．