Question

【題目】如圖：已知拋物線與軸，軸分別交于點(diǎn)，此拋物線的對(duì)稱軸為直線 ．

求出此拋物線的解析式；

如圖 1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的一點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

在的條件下，將拋物線沿射線方向平移，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在拋物線平移的過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)平移后的拋物線解析式

Answer 1

【答案】（1）；（2）；新拋物線解析式為新拋物線解析式為或．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸和A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，根據(jù)平行線的距離處處相等可得此時(shí)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后求出直線DP的解析式，然后聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)點(diǎn)P′與BC的位置關(guān)系分類(lèi)討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用待定系數(shù)法求出各個(gè)直線的解析式，聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)P′的坐標(biāo)，從而求出平移方式，然后即可求出新拋物線的解析式．

由題拋物線對(duì)稱軸為直線 且過(guò)點(diǎn)

得，

拋物線解析式為

由題拋物線的頂點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，根據(jù)平行線的距離處處相等可得此時(shí)

利用對(duì)稱性可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,0）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋d

將代入，得

解得：

設(shè)直線DP的解析式為y=x＋e

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，得

解得：e=-11

則

解得：（舍去），

若點(diǎn)P′在BC右側(cè)時(shí)，作∠ECB=∠PBC交BP與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PP′∥DC交EC于P′，連接OE，如下圖所示，易知點(diǎn)P′符合條件

∴EB=EC

∵OB=OC=5，

∴OE垂直平分BC

∴∠BOE=∠BOC=45°，即點(diǎn)E在∠BOC的角平分線上

∴可設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-m）

設(shè)直線BP的解析式為y=k1x＋b1

將點(diǎn)B、P的坐標(biāo)代入，可得

解得：

∴直線BP的解析式為y=4x-20

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入可得-m=4m-20

解得：m=4

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，-4）

同理可得CE的解析式為y=x-5

直線CD的解析式為y=-2x-5

直線PP′的解析式為y=-2x-2

聯(lián)立

解得：

∴點(diǎn)P′（）

∴點(diǎn)到點(diǎn)P′（）的平移方式為先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，在向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度

原拋物線的解析式為

∴新拋物線解析式為

若點(diǎn)P′在BC左側(cè)時(shí)，作CP′∥BP，PP′∥CD，CP′與PP′交于點(diǎn)P′，如下圖所示，此時(shí)

由上可知：直線BP的解析式為y=4x-20，可得直線CP′的解析式為y=4x-5

直線PP′的解析式為y=-2x-2

聯(lián)立

解得：

∴點(diǎn)P′（）

∴點(diǎn)到點(diǎn)P′（）的平移方式為先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，在向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度

原拋物線的解析式為

∴新拋物線解析式為

綜上：新拋物線解析式為或