【題目】如圖1,過點(diǎn)A(0,4)的圓的圓心坐標(biāo)為C(2,0),B是第一象限圓弧上的一點(diǎn),且BC⊥AC,拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過C、B兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為D.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(),拋物線的表達(dá)式為
(2)如圖2,求證:BD∥AC;
(3)如圖3,點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn),且AQ=5,直線AQ交⊙C于點(diǎn)P,求AP的長(zhǎng).

【答案】
(1)6;2;y= x2+ x﹣7
(2)

證明:在拋物線表達(dá)式y(tǒng)= x2+ x﹣7中,令y=0,即 x2+ x﹣7=0,

解得x=2或x=7,∴D(7,0).

如答圖2所示,

過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,則DE=OD﹣OE=1,CD=OD﹣OC=5.

在Rt△BDE中,由勾股定理得:BD= = = ;

在Rt△BCE中,由勾股定理得:BC= = =

在△BCD中,BD= ,BC= ,CD=5,

∵BD2+BC2=CD2

∴△BCD為直角三角形,∠CBD=90°,

∴∠CBD=∠ACB=90°,

∴AC∥BD


(3)

解:如答圖3所示:

由(2)知AC=BC= ,又AQ=5,

則在Rt△ACQ中,由勾股定理得:CQ= = =

過點(diǎn)C作CF⊥PQ于點(diǎn)F,

∵SACQ= ACCQ= AQCF,

∴CF= = =2.

在Rt△ACF中,由勾股定理得:AF= = =4.

由垂徑定理可知,AP=2AF,

∴AP=8.


【解析】(1.)解:如答圖1所示,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E.
∵AC⊥BC,
∴∠ACO+∠BCE=90°,
∵∠ACO+∠OAC=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠OAC=∠BCE,∠ACO=∠CBE.
∵在△AOC與△CEB中,

∴△AOC≌△CEB(ASA).
∴CE=OA=4,BE=OC=2,
∴OE=OC+CE=6.
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2).
∵點(diǎn)C(2,0),B(6,2)在拋物線y= x2+bx+c上,
,
解得b= ,c=﹣7.
∴拋物線的表達(dá)式為:y= x2+ x﹣7.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求小明騎車的速度和在南亞所游玩的時(shí)間;
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看法

頻數(shù)

頻率

贊成

5

無所謂

0.1

反對(duì)

40

0.8


(1)請(qǐng)求出共調(diào)查了多少人;并把小文整理的圖表補(bǔ)充完整;
(2)小麗要將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,則扇形圖中“贊成”的圓心角是多少度?

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