Question

如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC=30°，BC為半圓的切線，切點(diǎn)為B，且BC=4\sqrt{3}．
（1）求圓心O到AC的距離；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先在Rt△ABC中，根據(jù)∠BAC的度數(shù)以及BC的長，可求出⊙O的直徑；過O作AC的垂線，設(shè)垂足為E，在Rt△OAE中，根據(jù)⊙O的半徑及∠BAC的度數(shù)，即可求得OE．
（2）連接OD，陰影部分的面積即為扇形OAD和△OAD的面積差；扇形圓心角∠AOD的度數(shù)易求得，而AD的長，可由AB•sinA得出，由此得解．

解答：解：（1）過O作OE⊥AC于E；
∵BC是圓的切線，
∴∠ABC=90°
∵∠BAC=30°，BC=4

3

．
∴AB=

BC

tan30°

=12，
∴AO=6；
∵∠ABC=∠OEA，
又∠ABC=∠EAO，
∴sin∠ABC=sin∠EAO=30°，
∴OE=

1

2

AO=3．

（2）連接OD、BD；
∵∠AOD=2∠AOE=120°，
在Rt△ABD中，AD=AB•cosA=6

3

；
∴S_扇形=

120•π•62

360

=12π，S_△AOD=

1

2

AD•OE=

1

2

×6

3

×3=9

3

；
∴S_陰影=S_扇形-S_△AOD=12π-9

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查的是切線的性質(zhì)、圖形面積的求法以及解直角三角形的應(yīng)用．