Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B為圓心，1cm為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)P是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP'，連接BP'，在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，BP'長(zhǎng)度的取值范圍是_____cm．

Answer 1

【答案】（3-1）cm≤BP≤（3+1）．

【解析】

通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)路線為以D為圓心，以1為半徑的圓，可知：當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最小，先證明△PAB≌△P′AD，則P′D=PB=1，再利用勾股定理求對(duì)角線BD的長(zhǎng)，則得出BP′的長(zhǎng)．

如圖，當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最�。划�(dāng)P′在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，BP′最大．

連接BP，

①當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP′，∠PAP′=90°，

∴∠PAB+∠BAP′=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAP′+∠DAP′=90°，

∴∠PAB=∠DAP′，

∴△PAB≌△P′AD，

∴P′D=PB=1，

在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，

由勾股定理得：BD==3，

∴BP′=BD-P′D=3-1，

即BP′長(zhǎng)度的最小值為（3-1）cm．

②當(dāng)P′在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可得BD==3，

∴BP′=BD+P′D=3+1，

即BP′長(zhǎng)度的最大值為（3+1）cm．

∴BP'長(zhǎng)度的取值范圍是（3-1）cm≤BP≤（3+1）cm

故答案為：（3-1）cm≤BP≤（3+1）．