Question

【題目】點(diǎn)P為拋物線為常數(shù)，）上任意一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），點(diǎn)Q為點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)．

（1）拋物線的對稱軸是直線________，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_________；

（2）設(shè)點(diǎn)Q請你用含m，的代數(shù)式表示則________；

（3）如圖，點(diǎn)Q在第一象限，點(diǎn)D在軸的正半軸上，點(diǎn)C為OD的中點(diǎn)，QO平分∠AQC，當(dāng)AQ=2QC，QD=時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）x=m，Q（-2,2）；（2）a=m-；（3）m=1.

【解析】

（1）配方即可得出拋物線的對稱軸；根據(jù)m的值確定出原拋物線的解析式，進(jìn)而可求得P、G的坐標(biāo)，過P作PE⊥x軸于E，過Q作QF⊥x軸于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：△GQF≌△PGE，則QF＝GE、PE＝GF，可據(jù)此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（2）已知Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到QF、FG的長，仿照（1）的方法可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入原拋物線的解析式中，可求得a、b、m的關(guān)系式．

（3）延長QC到E，使得QC＝CE，那么AQ＝QE，可證△QCD≌△ECO，那么QD＝OE＝m，而AQ＝QE，且QO平分∠AQC，易證得△AQO≌△EQO，則OA＝OE＝m，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入（2）的關(guān)系式中，即可求得m的值．

（1）=，對稱軸為直線x=m．

當(dāng)m＝2時(shí)，y＝（x﹣2）2，則G（2，0）．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且P在拋物線上，∴將x＝4代入拋物線解析式得：y＝（4﹣2）2＝4，∴P（4，4），如圖，連接QG、PG，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，依題意，可得：△GQF≌△PGE，則FQ＝EG＝2，FG＝EP＝4，∴FO＝2，∴Q（﹣2，2）．

（2）已知Q（a，b），則GE＝QF＝b，FG＝m﹣a．

由（1）知：PE＝FG＝m﹣a，GE＝QF＝b，即P（m+b，m﹣a），代入原拋物線的解析式中，得：m﹣a＝（m+b）2﹣2m（m+b）+m2，m﹣a＝m2+b2+2mb﹣2m2﹣2mb+m2，a＝m﹣b2，故用含m，b的代數(shù)式表示a：a＝m﹣b2．

（3）如圖，延長QC到點(diǎn)E，使CE＝CQ，連接OE．

∵C為OD中點(diǎn)，∴OC＝CD．

∵∠ECO＝∠QCD，∴△ECO≌△QCD，∴OE＝DQ＝m．

∵AQ＝2QC，∴AQ＝QE．

∵QO平分∠AQC，∴∠1＝∠2，∴△AQO≌△EQO，∴AO＝EO＝m，∴A（0，m）．

∵A（0，m）在新圖象上，∴0＝m﹣m2，∴m1＝1，m2＝0（舍），∴m＝1．