Question

設x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質(zhì)數(shù)，并且

1

x

+

1

y

=

2

p

，求x+y的值．

Answer 1

分析：根據(jù)x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質(zhì)數(shù)，由

1

x

+

1

y

=

2

p

可知xy=

p(x+y)

2

，由k為正整數(shù)可得2xy=kp，再由質(zhì)數(shù)的定義可知2t-1=1或2t-1=p，由x≠y及2t-1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論．

解答：解：

x+y

xy

=

2

p

，得x+y=

2xy

p

=k，k為正整數(shù)可得2xy=kp，
所以p整除2xy，且p為奇質(zhì)數(shù)，所以p整除xy，進而p整除x或y，
不妨設x=tp，則tp+y=2ty，得y=

tp

2t-1

為整數(shù)，又t與2t-1互質(zhì)所以2t-1整除p，p為質(zhì)數(shù)，
所以2t-1=1或2t-1=p，
若2t-1=1，得t=1，x=y=p，與x≠y矛盾；
若2t-1=p，則

x+y

xy

=

2

p

，2xy=p（x+y）
∵P是奇質(zhì)數(shù)，則x+y為偶數(shù)，x、y同奇偶性、只能同為xy=

p(x+y)

2

必有某數(shù)含因數(shù)P，令x=aP
ay=

ap+y 2

，2ay=p+y，
∴y=

ap

2a-1

，
到此可知，a、2a-1互質(zhì)，2a-1整除P，又P是質(zhì)數(shù)，則2a-1=p，a=y=

(p+1)

2

，
x=

(p+1)

2

•p=

p(p+1)

2

∴x+y=

p(p+1)

2

+

(p+1)

2

=

(p+1)2

2

．

點評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)、數(shù)的整除性問題，解答此題的關鍵根據(jù)題意得出p整除x或y，由質(zhì)數(shù)的定義得到2t-1=1或2t-1=p，再進行討論，此題難度較大．