【題目】拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.

(1)求直線BC的表達式;

(2)拋物線的對稱軸上存在點P,使∠APB=∠ABC,利用圖①求點P的坐標(biāo);

(3)點Q在y軸右側(cè)的拋物線上,利用圖②比較∠OCQ與∠OCA的大小,并說明理由.

【答案】(1)y=-x32P點的坐標(biāo)為(1,22)或(1,-22)3當(dāng)Q點的橫坐標(biāo)為5時OCA=∠OCQ;當(dāng)Q點的橫坐標(biāo)大于5時,則∠OCQ逐漸變小,故∠OCAOCQ;當(dāng)Q點的橫坐標(biāo)小于5且大于0時,則∠OCQ逐漸變大,故∠OCA<∠OCQ.

【解析】試題分析:(1)由拋物線解析式可求B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求直線BC的解析式;

(2)由直線BC的解析式可知∠APB=∠ABC=45°,設(shè)拋物線對稱軸交直線BC于點D,交x軸于點E,結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可得PB=PD,根據(jù)勾股定理求出BD的長,從而求出PE的長,進而求出P的坐標(biāo);

(3)設(shè)Q(x,-x2+2x+3),當(dāng)∠OCA=∠OCQ時,利用三角形相似可得到關(guān)于x的方程,求出Q點的橫坐標(biāo),再結(jié)合圖形比較兩角的大小.

試題解析:(1)y=-x2+2x+3y=0可得0=-x2+2x+3,解得x=-1x=3,x=0可得y=3,∴B(3,0),C(0,3).∴可設(shè)直線BC的表達式為y=kx+3,B點坐標(biāo)代入可得3k+3=0,解得k=-1,∴直線BC的表達式為y=-x+3.

(2)∵OB=OC,∴∠ABC=45°.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴拋物線的對稱軸為直線x=1.

設(shè)拋物線的對稱軸交直線BC于點Dx軸于點E,當(dāng)點Px軸上方時,如圖甲,∵∠APBABC45°,PAPB,∴∠PBA67.5°,DPBAPB22.5°,∴∠PBD22.5°,∴∠DPBDBP,DPDB.RtBDE,BEDE2,BD2PE22,P(1,22)

當(dāng)點Px軸下方時,由對稱性可知P點坐標(biāo)為(1,-22)

綜上可知,P點的坐標(biāo)為(1,22)(1,-22)

(3)設(shè)Q(x,-x22x3)當(dāng)點Qx軸下方時,如圖乙過點QQFy軸于點F,CFx22x.當(dāng)OCAOCQQFC∽△AOC,,解得x0(舍去)x5.

當(dāng)Q點的橫坐標(biāo)為5,∠OCA=∠OCQ;當(dāng)Q點的橫坐標(biāo)大于5,∠OCQ逐漸變小,∠OCA>∠OCQ;當(dāng)Q點的橫坐標(biāo)小于5且大于0,∠OCQ逐漸變大∠OCA<∠OCQ.

練習(xí)冊系列答案
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請在圖1的數(shù)軸上描出三點,并直接寫出三數(shù)之間的大小關(guān)系(用“<”連接)

為數(shù)軸上點右側(cè)一點,且點點的距離是到點距離的倍,求點在數(shù)軸上所對應(yīng)的有理數(shù);

在數(shù)軸上以每秒個單位長度的速度向左運動,同時點和點在數(shù)軸上分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動(其中),若在整個運動的過程中,點到點的距離與點到點的距離差始終不變,求的值.

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(1)求點E的坐標(biāo);

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②在x軸上是否存在點P,使SOCP=SCOF?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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