Question

【題目】若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．

（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），y3=y1+y2，若y3與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達式，并求出當0≤x≤3時，y2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2和y=2x2；（2）函數(shù)y2的表達式為y2=7x2-14x+7，當0≤x≤3時，x=3時，y2的值最大，最大值=28．

【解析】

（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的表達式即可；

（2）由y1的圖像經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達式，然后將函數(shù)y2的表達式轉(zhuǎn)化為頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

解：（1）二次函數(shù)y=x2和y=2x2是“同簇二次函數(shù)”；

（2）把A（1，1）代入y1=2x2-4mx+2m2+1得2-4m+2m2+1=1，解得m=1，

則y1=2x2-4x+3，y2=ax2+bx+7，

所以y3=y1+y2=（a+2）2+（b-4）x+10，

而y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1，即二次函數(shù)y1的頂點坐標為（1，1），

因為y3與y1為“同簇二次函數(shù)”，

所以二次函數(shù)y3的頂點坐標為（1，1），

則a+2+b-4+10=1，-=1，解得a=7，b=-14，

所以函數(shù)y2的表達式為y2=7x2-14x+7，則拋物線y2的對稱軸為直線x=-=1，

當0≤x≤3時，x=3時，y2的值最大，最大值=7×9-14×3+7=28．