Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD，直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）當點D的坐標為（，）或（，）時，直線BC把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分；（3）滿足條件的M點的坐標為（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．

【解析】

（1）由拋物線與x軸的兩個交點坐標代入解析式中列出二元一次方程組 ，解此方程組即可求得拋物線的解析式；

（2）結(jié)合圖像可知△BDE和△BEF是等高的，，由此得出他們的面積比即為DE：EF＝2：3，分兩種情況考慮，根據(jù)兩點間的距離公式即可得出方程，解方程求得D點坐標；

（3）分情況分析△MBC為直角三角形時M的坐標即可.

（1）將A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，

得：，

解得 ，

則拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+5；

（2）能．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

把C（0，5），B（5，0）代入得 ，

解得 ，

所以直線BC的解析式為y＝﹣x+5，

設(shè)D（x，﹣x2+4x+5），則E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），

∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，

當DE：EF＝2：3時，S△BDE：S△BEF＝2：3，

即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，

整理得3x2﹣17x+10＝0，

解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此時D點坐標為（，）；

當DE：EF＝3：2時，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，

整理得2x2﹣13x+15＝0，

解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此時D點坐標為（，）；

綜上所述，當點D的坐標為（，）或（，）時，直線BC把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分；

（3）拋物線的對稱軸為直線x＝2，如圖，

設(shè)M（2，t），

∵B（5，0），C（0，5），

∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，

當BC2+MC2＝MB2時，△BCM為直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此時M點的坐標為（2，7）；

當BC2+MB2＝MC2時，△BCM為直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此時M點的坐標為（2，﹣3）；

當MC2+MB2＝BC2時，△BCM為直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此時M點的坐標為（2，6）或（2，﹣1），

綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．