【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°A30°,點(diǎn)DAB上,以BD為直徑的⊙OAC于點(diǎn)E,連接DE并延長(zhǎng),交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

1)求證:BDF是等邊三角形;

2)連接AF、DC,若BC3,寫(xiě)出求四邊形AFCD面積的思路.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;2思路見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)連接OE,因AC切⊙O于點(diǎn)E,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OEA=90° ;再由∠A=30°,∠ACB=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AOE=60°,∠B=60°因OD=OE,可得∠ODE=∠OED=60°,所以∠F=∠B=∠ODE,即可判斷△BDF是等邊三角形 ;(2)如圖,作DH⊥AC于點(diǎn)H,求四邊形AFCD的面積思路有以下幾步:①由∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,可求AB,AC的長(zhǎng);②由∠AEO=90°,∠OAE=30°,可知AO=2OE,可求AD,DB,DH的長(zhǎng); ③由(1)可知BF=BD,可求CF的長(zhǎng); ④由AC,DH,CF的長(zhǎng)可求四邊形AFCD的面積.

試題解析:

1)證明:連接OE

∵AC⊙O于點(diǎn)E

, ,

, .

,

∴△BDF是等邊三角形.

2)如圖,DH⊥AC于點(diǎn)H.

∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,可求ABAC的長(zhǎng);

∠AEO=90°,∠OAE=30°,可知AO=2OE,可求ADDBDH的長(zhǎng);

由(1)可知BF=BD,可求CF的長(zhǎng);

ACDH,CF的長(zhǎng)可求四邊形AFCD的面積.

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