Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BCA=90°，CD 是邊 AB上的中線，分別過(guò)點(diǎn) C ， D 作 BA ， BC的平行線交于點(diǎn) E ，且 DE 交 AC 于點(diǎn) O ，連接 AE ．

（1）求證：四邊形 ADCE 是菱形；
（2）若AC=2DE，求 sin∠CDB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四邊形DBCE是平行四邊形，
∴EC=BD，
又∵CD是AB邊上的中線，
∴AD=BD，
∴EC=AD ，
又∵EC∥AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵∠BCA=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴AD=CD，
∴四邊形ADCE是菱形.

（2）解：如下圖：

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
由（1）得，BC=DE，
設(shè)BC=x，則AC=2x，
在RtABC中，AB==x，
∵ABCF=ACBC，
∴CF==x，
∵CD=AB=x，
∴sin∠CDB==.

【解析】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等，依照題意準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.