Question

拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+3上，過點(diǎn)F（-2，2）的直線交該拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），MA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B．
（1）先通過配方求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含m的代數(shù)式表示），再求m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為a，試用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，并說明NF=NB；
（3）若射線NM交x軸于點(diǎn)P，且PA•PB=，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法將二次函數(shù)整理成頂點(diǎn)式即可，再利用點(diǎn)在直線上的性質(zhì)得出答案即可；
（2）首先利用點(diǎn)N在拋物線上，得出N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理得出NF²=NC²+FC²，進(jìn)而得出NF²=NB²，即可得出答案；
（3）求點(diǎn)M的坐標(biāo)，需要先求出直線PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關(guān)的比例線段將PA•PB的值轉(zhuǎn)化為PF的值，進(jìn)而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和直線PF的解析式，即可得解．
解答：解：（1）y=x²+x+m=（x+2）²+（m-1）
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，m-1）
∵頂點(diǎn)在直線y=x+3上，
∴-2+3=m-1，
得m=2；

（2）過點(diǎn)F作FC⊥NB于點(diǎn)C，
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：a²+a+2，
即點(diǎn)N（a，a²+a+2）
在Rt△FCN中，F(xiàn)C=a+2，NC=NB-CB=a²+a，
∴NF²=NC²+FC²=（a²+a）²+（a+2）²，
=（a²+a）²+（a²+4a）+4，
而NB²=（a²+a+2）²，
=（a²+a）²+（a²+4a）+4
∴NF²=NB²，
NF=NB；

（3）連接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵M(jìn)A⊥x軸，NB⊥x軸，
∴MA∥NB，
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的內(nèi)角總和為360°，
∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，
∵∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠FBA+∠FAB=90°，
又∵∠FAB+∠MAF=90°，
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，
∴△PFA∽△PBF，
∴=，PF²=PA×PB=，
過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，在Rt△PFG中，
PG==，
∴PO=PG+GO=，
∴P（-，0）
設(shè)直線PF：y=kx+b，把點(diǎn)F（-2，2）、點(diǎn)P（-，0）代入y=kx+b，
解得k=，b=，
∴直線PF：y=x+，
解方程x²+x+2=x+，
得x=-3或x=2（不合題意，舍去），
當(dāng)x=-3時(shí)，y=，
∴M（-3，）．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，在該二次函數(shù)綜合題中，融入了勾股定理、相似三角形等重點(diǎn)知識(shí)，（3）題通過構(gòu)建相似三角形將PA•PB轉(zhuǎn)化為PF的值是解題的關(guān)鍵，也是該題的難點(diǎn)．