Question

【題目】定義：兩條長(zhǎng)度相等，且它們所在的直線互相垂直的線段，我們稱其互為“等垂線段”．

知識(shí)應(yīng)用：在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC， ∠ACB=∠AED=90°，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE．

（1）如圖1，當(dāng)AE在線段AC上時(shí)，線段PC與線段PE是否互為“等垂線段”？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)說(shuō)明線段PC與線段PE互為“等垂線段”．

拓展延伸：（3）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，若BC=3，DE=1，求PC的值．

Answer 1

【答案】（1）線段PC與線段PE互為“等垂線段”，理由見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F，首先證明，則有PF=PE=EF，BF=DE，然后證明△EFC是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明線段PC與線段PE互為“等垂線段”；

（2）作BF//DE，交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE，CF，首先證明，則有BF= DE， PE=PF=EF，然后利用平行線的性質(zhì)得出∠CBF=∠CAE，進(jìn)而可證，則有CF=CE，∠FCB=∠ECA，從而得出△FCE是等腰直角三角形，則結(jié)論可證；

（3）作BF//DE，交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE，CF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，首先證明，則有BF= DE， PE=PF=EF，然后可證，則有CF=CE，∠FCB=∠ECA，從而得出△FCE是等腰直角三角形，則PC=PE=EC，然后在RtAHE中，求出HE,AH的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CH的長(zhǎng)度，然后在RtCEH中，由勾股定理求出EC的長(zhǎng)度，則PC的長(zhǎng)度可求 ．

解：(1)線段PC與線段PE互為“等垂線段”．

理由：如圖1，延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F．

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴DEBC，

∴∠EDP=∠FBP．

∵點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，

∴PB=PD．

在和中，

∴PF=PE=EF，BF=DE．

∵AC=BC，AE=DE，

∴AC﹣AE=BC﹣BF，即EC=FC．

又∵∠ACB=90°，

∴△EFC是等腰直角三角形．

∵EP=FP，

∴PC=PE，PC⊥PE，

∴線段PC與線段PE互為“等垂線段”；

（2）如圖2，作BF//DE，交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE，CF，

∵DEBF，

∴∠EDP=∠FBP．

∵點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，

∴PB=PD．

在和中，

∴BF= DE， PE=PF=EF．

∵DE=AE，

∴BF=AE．

∵∠CAE=90°，∠AED=90°，

∴EDAC．

，

∴FBAC，

∴，

∴∠CBF=∠CAE．

在和中，

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA．

∵∠ACB=90°，

∴∠FCE=90°，

∴△FCE是等腰直角三角形．

∵PE=PF，

∴PC⊥PE，PC=PE，

∴線段PC與線段PE互為“等垂線段”；

(3)如圖3

作BF//DE，交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE，CF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為150°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE=150°，DE與BC所夾的銳角為30°，

∴∠FBC=∠EAC=150°．

∵DEBF，

∴∠EDP=∠FBP．

∵點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，

∴PB=PD．

在和中，

∴BF= DE， PE=PF=EF．

∵DE=AE ，

∴BF=AE．

在和中，

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA．

∵∠ACB=90° ，

∴∠FCE=90°，

∴△FCE是等腰直角三角形．

∵PE=PF，

∴PC⊥PE，PC=PE=EC．

在RtAHE中，∠EAH=30°，AE=DE=1，

∴HE=，AH=．

又∵AC=BC=3，

∴CH=AC+AH=3+．

在RtCEH中，

由勾股定理得 ，

．