Question

【題目】閱讀理解材料一：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線．梯形的中位線具有以下性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底和，并且等于兩底和的一半．

如圖（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC，

∵E、F是AB、CD的中點(diǎn)，∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）

材料二：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊

如圖（2）：在△ABC中：∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥BC

∴F是AC的中點(diǎn)

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解答下列問(wèn)題．

如圖（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∠DBC=30°．

（1）求證：EF=AC；

（2）若OD=，OC=5，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）2．

【解析】

（1）由直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可證明；

（2）直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得出OA=3，利用平行線得出ON=MN，再根據(jù)AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，進(jìn)而得出MN的值．

解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DBC=30°，∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∴AC=OA+OC=（AD+BC），∵EF=（AD+BC），∴AC=EF；

（2）∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DBC=30°，∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∵OD=，OC=5，∴OA=3，∵AD∥EF，∴∠ADO=∠OMN=30°，∴ON=MN，∵AN=AC=（OA+OC）=4，∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，∴MN=2ON=2．