Question

（1）如圖所示，△ABC和△AEF為等邊三角形，點E在△ABC內(nèi)部，且E到點A、B、C的距離分別為3、4、5，求∠AEB的度數(shù)．

（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N為BC上的兩點，且∠MAN=45°，MN²與NC²+BM²有何關系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

       （1）解：

連接FC，

∵△ABC和△AEF為等邊三角形，

∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，

在△BAE和△CAF中

∴△BAE≌△CAF，

∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，

∴EF=3，CE=5，

∴CE²=EF²+CF²，

∴∠CFE=90°

∵∠AFE=60°，

∴∠AFC=90°+60°=150°，

∴∠AEB=∠AFC=150°；

（2）MN²=NC²+BM²，

證明：將△ABM繞A點逆時鐘選擇90，得到△AFC，

則AM=AF，CF=BM，∠BAM=∠CAF，∠B=∠ACF，

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，

∴∠NAF=∠CAN+∠FAC=∠CAN+∠BAM=90°﹣45°=45°=∠MAN，

在△MAN和△FAN中

∴△MAN≌△FAN，

∴MN=FN，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵∠B=∠ACF，

∴∠ACF=45°，

∴∠FCN=90°，

由勾股定理得：NF²=CF²+CN²，

∵CF=BM，NF=MN，

∴MN²=NC²+BM²．