Question

如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，過(guò)E作BC的垂線交BC于點(diǎn)F，交⊙O于M，P是弧BC中點(diǎn)，連接PC交EM于點(diǎn)G，若AB=13，AE=5，tan∠BGF=4．求：（1）EM的長(zhǎng)；（2）AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE、BP，構(gòu)造直角三角形，利用射影定理求出BC、CF，BF、CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)，得到EM的長(zhǎng)；
（2）利用割線定理AD•AB=AE•AC，可求得AD的長(zhǎng)．
解答：解：（1）連接BE、BP，BM，
則∠BEC=90°，∠P=90°，
∵P為弧BC中點(diǎn)，
∴∠BCP=∠CBP=45°，
∵EM⊥BC與F，
∴∠EFC=90°，
于是△CFG為等腰直角三角形，GF=FC，
又∵tan∠BGF=4，
設(shè)BF=4x，則FG=x，于是FC=x，
根據(jù)射影定理，BE²=BF•BC=4x•5x，
即12²=20x²，x²=，x=．
根據(jù)相交弦定理，EF²=BF•CF，得EF²=4x•x，
EF²=4x²=4×=，EF=；
EM=2×=．

（2）在Rt△BEC中，根據(jù)射影定理，EC²=BC•CF=5x•x=5×=36，解得EC=6或EC=-6（負(fù)值舍去）．
根據(jù)割線定理AD•AB=AE•AC，
得13AD=5×（5+6），
解得AD=．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)、相交弦定理、射影定理等知識(shí)，難度較大．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用其性質(zhì)解答．