Question

【題目】如圖，已知在矩形中，，，是線段邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)、），連接，過點(diǎn)作交于．

在線段上是否存在不同于的點(diǎn)，使得？若存在，求線段與之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；

當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，對應(yīng)的點(diǎn)也隨之在上運(yùn)動，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時，滿足條件的點(diǎn)不存在．當(dāng)不是的中點(diǎn)時，總存在這樣的點(diǎn)滿足條件，此時；（2）的取值范圍是．

【解析】

（1）假設(shè)存在符合條件的Q點(diǎn)，由于PE⊥PC，且四邊形ABCD是矩形，易證得△APE∽△DCP，可得APPD=AECD，同理可通過△AQE∽△DCQ得到AQQD=AEDC，則APPD=AQQD，分別用PD、QD表示出AP、AQ，將所得等式進(jìn)行適當(dāng)變形即可求得AP、AQ的數(shù)量關(guān)系．（2）由于BE的最大值為AB的長即2，因此只需求得BE的最小值即可；設(shè)AP=x，AE=y，在（1）題中已經(jīng)證得APPD=AECD，用x、y表示出其中的線段，即可得到關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范圍．

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴；

同理可得；

∴，即，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴

∵，

∴，即不能是的中點(diǎn)，

∴當(dāng)是的中點(diǎn)時，滿足條件的點(diǎn)不存在．

當(dāng)不是的中點(diǎn)時，總存在這樣的點(diǎn)滿足條件，此時．

設(shè)，，由可得，

∴，

∴當(dāng)（在范圍內(nèi)）時，；

而此時最小為，

又∵在上運(yùn)動，且，

∴的取值范圍是．