Question

【題目】如圖，已知Rt△MBN的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，∠M＝30°，O為AB中點(diǎn)，NO平分∠BNM，EO平分∠AEN．

（1）求證：△MON為等腰三角形；

（2）求證：EN＝AE+BN．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

(1) 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊證得站論.

(2)延長(zhǎng)EO交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,構(gòu)造全等三角形; △AOE≌△BOP,結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答.

（1）證明：∵∠B＝90°，∠M＝30°，

∴∠BNM＝60°，

∵NO平分∠BNM，

∴∠ONM＝∠BNM＝30°，

∴∠ONM＝∠M，

∴OM＝ON，

∴MON為等腰三角形；

（2）證明：如圖，延長(zhǎng)EO交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

依題意得：∠BAE＝∠ABP＝90°．

∵O為AB中點(diǎn)，

∴OA＝OB，

在△AOE和△BOP中，

，

∴△AOE≌△BOP（ASA），

∴AE＝BP，OE＝OP．

又NO平分∠BNM，

∴ON⊥EP，

∴EN＝PN，

∴EN＝PN＝BP+BN＝AE+BN，

∴EN＝AE+BN．