【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.

(1)試求A,B,C的坐標(biāo);

(2)將ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到BAD.3

求點D的坐標(biāo);

判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;

(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使BMP與BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1) A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2);(2)D(3,﹣2);四邊形ADBC是矩形;理由見解析,(3) 點P的坐標(biāo)為:(1.5,1.25),(1.5,﹣1.25),(1.5,5),(1.5,﹣5).

【解析】

試題分析:(1)直接利用y=0,x=0分別得出A,B,C的坐標(biāo);

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長得出D點坐標(biāo);

利用平行四邊形的判定方法結(jié)合勾股定理的逆定理得出四邊形ADBC的形狀;

(3)直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長進(jìn)而得出答案.

試題解析:(1)當(dāng)y=0時,0=﹣x2+x+2,

解得:x1=﹣1,x2=4,

則A(﹣1,0),B(4,0),

當(dāng)x=0時,y=2,

故C(0,2);

(2)過點D作DEx軸于點E,

ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到BAD,

DE=2,AO=BE=1,OM=ME=1.5,

D(3,﹣2);

②∵ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到BAD,

AC=BD,AD=BC,

四邊形ADBC是平行四邊形,

AC=,BC=,AB=5,

AC2+BC2=AB2,

∴△ACB是直角三角形,

∴∠ACB=90°,

四邊形ADBC是矩形;

(3)由題意可得:BD=,AD=2,

,

當(dāng)BMP∽△ADB時,

,

可得:BM=2.5,

則PM=1.25,

故P(1.5,1.25),

當(dāng)BMP1∽△ABD時,

P1(1.5,﹣1.25),

當(dāng)BMP2∽△BDA時,

可得:P2(1.5,5),

當(dāng)BMP3∽△BDA時,

可得:P3(1.5,﹣5),

綜上所述:點P的坐標(biāo)為:(1.5,1.25),(1.5,﹣1.25),(1.5,5),(1.5,﹣5).

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