【題目】如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ABCD,BC10,對角線ACBD相交于點O,且ACBD,設(shè)ADx,△AOB的面積為y

1)求∠DBC的度數(shù);

2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

3)如圖1,設(shè)點P、Q分別是邊BC、AB的中點,分別聯(lián)結(jié)OP,OQ,PQ.如果△OPQ是等腰三角形,求AD的長.

【答案】1)∠DBC45;(2yxx0);(3)滿足條件的AD的值為1010

【解析】

1)過點DAC的平行線DE,與BC的延長線交于E點,只要證明BDE是等腰直角三角形即可解決問題;

2)由(1)可知:BOCAOD都是等腰直角三角形,由題意OA=x,OB=5,根據(jù)y=OAOB計算即可;

3)分三種情形討論即可解決問題;

1)過點DAC的平行線DE,與BC的延長線交于E點.

∵梯形ABCD中,ADBC,ACDE,

∴四邊形ACED為平行四邊形,ACDEADCE,

ABCD,

∴梯形ABCD為等腰梯形,

ACBD,

BDDE,

ACBD

∴∠BOC90°

ACDE

∴∠BDE90°,

∴△BDE是等腰直角三角形,

∴∠DBC45°.

2)由(1)可知:△BOC,△AOD都是等腰直角三角形,

ADx,BC10,

OAx,OB5

y

3)如圖2中,

當(dāng)PQPOBC5時,

AQQB,BPPC5,

PQACPQAC,

AC10,∵OC5,

OA105,

ADOA1010

當(dāng)OQOP5時,AB2OQ10,此時ABBC,∠BAC=∠BCA45°,

∴∠ABC90°,同理可證:∠DCB90°,

∴四邊形ABCD是矩形,不符合題意,此種情形不存在.

當(dāng)OQPQ時,AB2OQ,AC2PQ,

ABAC,

∴∠ABC=∠ACB45°,

∴∠BAC90°=∠BOC,顯然不可能,

綜上所述,滿足條件的AD的值為1010

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;

_______________;

_______________;

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