Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸m與x軸交于點(diǎn)E，CD⊥m，垂足為D，點(diǎn)F（﹣，0），動(dòng)點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動(dòng)，連接CF、CN、FN，若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△FEN相似，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，將射線MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（， ）或（，2）；（3）P的坐標(biāo)為（4，0）

【解析】分析: （1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x＋1）（x4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，然后求得CD，EF的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，a）則ND＝4a，NE＝a，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程，然后可求得a的值；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，過(guò)點(diǎn)M作DM∥x軸，交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．則△AME為等腰直角三角形，然后再求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可得到MD＝2，AD＝6，然后證明∴△ADM≌△AFE，于是可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求得EM的解析式為y＝2x＋8，最后求得直線EM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

詳解:

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C（0，4）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：﹣4a=4，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）x==．∴CD=，EF=．

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，a）則ND=4﹣a，NE=a．

當(dāng)△CDN∽△FEN時(shí)， ，即，解得a=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（， ）．

當(dāng)△CDN∽△NEF時(shí)， ，即，解得：a=2．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，2）．

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（， ）或（，2）．

（3）如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，過(guò)點(diǎn)M作DM∥x軸，交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．

∵AM=AE，∠MAE=90°， ∴∠AMP=45°．

將x=1代入拋物線的解析式得：y=6， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）． ∴MD=2，AD=6．

∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°， ∴∠DAM=∠FAE．

在△ADM和△AFE中， ，

∴△ADM≌△AFE．

∴EF=DM=2，AF=AD=6．

∴E（5，﹣2）．

設(shè)EM的解析式為y=kx+b．

將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得： ，

解得k=﹣2，b=8，

∴直線EM的解析式為y=﹣2x+8．

將y=﹣2x+8與y=﹣x2+3x+4聯(lián)立，解得：x=1或x=4．

將x=4代入y=﹣2x+8得：y=0．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）．

點(diǎn)睛: 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形、全等三角形求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．