Question

觀察下面的一列數(shù)：

1

2

，-

1

6

，

1

12

，-

1

20

…請(qǐng)你找出其中排列的規(guī)律，并按此規(guī)律填空：
（1）第9個(gè)數(shù)是

 

，第14個(gè)數(shù)是

 

．
（2）若n是大于1的整數(shù)，按上面的排列規(guī)律，那么第n個(gè)數(shù)是

 

？（用含n的代數(shù)式表達(dá)）

Answer 1

分析：（1）已知的一列數(shù)等價(jià)為：

1

1×2

，-

1

2×3

，

1

3×4

，-

1

4×5

…可以發(fā)現(xiàn)分子永遠(yuǎn)為1，分母是兩個(gè)相鄰數(shù)的乘積，且其中一個(gè)為項(xiàng)的序號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)永遠(yuǎn)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)永遠(yuǎn)為負(fù)數(shù)，由此規(guī)律推出第9個(gè)數(shù)和第14個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出通項(xiàng)公式為（-1）ⁿ⁺¹

1

n(n+1)

．

解答：解：（1）題中的一列數(shù)可以等價(jià)為：

1

1×2

，-

1

2×3

，

1

3×4

，-

1

4×5

…
經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)：各項(xiàng)的分子均為1，分母為各項(xiàng)的序號(hào)數(shù)×（各項(xiàng)序號(hào)數(shù)+1），
且奇數(shù)項(xiàng)是正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)．
所以可以得出第n個(gè)數(shù)是（-1）ⁿ⁺¹

1

n(n+1)

，n≥1；
即：第9個(gè)數(shù)為：（-1）¹⁰×

1

9×10

=

1

90

，第14個(gè)數(shù)為：（-1）¹⁵×

1

14×15

=-

1

210

；
（2）第n個(gè)數(shù)是：(-1)n+1

1

n(n+1)

．
故答案為：

1

90

，-

1

210

；(-1)n+1

1

n(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是規(guī)律型，主要考查通過(guò)原來(lái)一列數(shù)的等價(jià)變換，得出各項(xiàng)的變化規(guī)律及由變化寫(xiě)出求任意一項(xiàng)時(shí)的規(guī)律式．