【題目】設(shè)△ABC,點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)(A、B、C三點(diǎn)除外),若點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C中任意兩點(diǎn)的連線的夾角為直角時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn).
(1)如圖1,若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠A=50°,∠ACP=10°,∠ABP=30°,試說(shuō)明點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn).
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線CD上,若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn),則CP= ;
(3)如圖3,四邊形ABDC中,DB=DA,∠BCD=45°,AC=,CD=3.則點(diǎn)D能否是△ABC的勾股點(diǎn),若能,求出BC的長(zhǎng):若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)或或10;(3)點(diǎn)D可以是△ABC的勾股點(diǎn),BC的長(zhǎng)是
【解析】
(1)根據(jù)勾股點(diǎn)的定義可得結(jié)論;
(2)若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn),有三種情況:①當(dāng)∠APC=90°時(shí),②當(dāng)∠BPC=90°時(shí),③當(dāng)∠APB=90°時(shí),分別根據(jù)S△ACD=S△ABC和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可;
(3)存在,當(dāng)∠ADB=90°時(shí),點(diǎn)D是△ABC的勾股點(diǎn),如圖5,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,證明△AED≌△DFB(AAS),得AE=DF,根據(jù)等腰直角三角形計(jì)算AE的長(zhǎng),可得DF的長(zhǎng),可得結(jié)論.
(1)∵∠A=50°,∠ACP=10°,∠ABP=30°,
∴∠PCB+∠PBC=180°﹣50°﹣10°﹣30°=90°,
∴∠BPC=90°,
∴點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn);
(2)點(diǎn)P在射線CD上,若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn),存在以下三種情況:
①如圖2,當(dāng)∠APC=90°時(shí),AC=6,BC=8,
∴AB=10,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴CD=AB=5,
S△ACD=S△ABC=CDAP,
,
AP=,
∴;
②如圖3,當(dāng)∠BPC=90°時(shí),
S△ACD=S△ABC=CDBP,
,
BP=,
∴CP=;
③如圖4,當(dāng)∠APB=90°時(shí),
∵D是AB的中點(diǎn),
∴PD=AB=5,
∴PC=5+5=10,
綜上,PC的長(zhǎng)是或或10;
故答案為:或或10;
(3)存在,
當(dāng)∠ADB=90°時(shí),點(diǎn)D是△ABC的勾股點(diǎn),如圖5,過(guò)A作AE⊥CD,交直線CD于E,過(guò)B作BF⊥CD于F,
∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠BDF+∠DBF=90°,
∴∠ADE=∠DBF,
∵∠E=∠F=90°,AD=BD,
∴△AED≌△DFB(AAS),
∴AE=DF,
∵AD=BD,
∴△ADB是等腰直角三角形,
∴∠DAB=45°,
∵∠BCD=45°,
∴∠BCD=∠DAB,
∴A、B、D、C四點(diǎn)共圓,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∴∠ACE=45°,
∵AC=,
∴AE=CE=DF=,
∴CF,
∴BC=CE=;
綜上,點(diǎn)D可以是△ABC的勾股點(diǎn),BC的長(zhǎng)是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的基本能力,為了進(jìn)一步了解學(xué)生的計(jì)算情況,初2020級(jí)數(shù)學(xué)老師們對(duì)某次考試中第19題計(jì)算題的得分情況進(jìn)行了調(diào)查,現(xiàn)分別從A、B兩班隨機(jī)各抽取10名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
A班10名學(xué)生的成績(jī)繪成了條形統(tǒng)計(jì)圖,如下圖,
B班10名學(xué)生的成績(jī)(單位:分)分別為:9,8,9,10,9,7,9,8,10,8
經(jīng)過(guò)老師對(duì)所抽取學(xué)生成績(jī)的整理與分析,得到了如下表數(shù)據(jù):
A班 | B班 | |
平均數(shù) | 8.3 | a |
中位數(shù) | b | 9 |
眾數(shù) | 8或10 | c |
極差 | 4 | 3 |
方差 | 1.81 | 0.81 |
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題.
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)直接寫(xiě)出表中a,b,c的值:a= ,b= ,c= ;
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為A、B兩個(gè)班哪個(gè)班計(jì)算題掌握得更好?請(qǐng)說(shuō)明理由(寫(xiě)出其中兩條即可): .
(4)若9分及9分以上為優(yōu)秀,若A班共55人,則A班計(jì)算題優(yōu)秀的大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A(0,4)、B(﹣4,0)、C(0,﹣4)、D(4,0),對(duì)于圖形M,給出如下定義:點(diǎn)P為圖形M上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn),如果P、Q兩點(diǎn)間的距離有最大值,那么稱(chēng)這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”,記作d(M).
(1)已知點(diǎn)E(0,2),G(﹣1,﹣1).
①如圖1,直接寫(xiě)出d(點(diǎn)E),d(點(diǎn)G)的值;
②如圖2,扇形EOF圓心角∠EOF=45°,將扇形EOF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0<α<180°)得到扇形E'OF',當(dāng)d(扇形E'OF')取最大值時(shí),求α角的取值范圍;
(2)點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足d(點(diǎn)P)=6,直接寫(xiě)出OP長(zhǎng)度的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,矩形ABCD中,AB=2cm,AD=3cm.點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),點(diǎn)P以3cm/s的速度沿A→D方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D為止,點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D為止,則△APQ的面積S(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(4,0)、B(﹣2,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,四邊形ABCD的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最值;
(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,且∠BPC=45°,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (0,2),(1,0),(0,-0.5),D為線段AB上-個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過(guò)B,D,0三點(diǎn)的圓與直線BC交于點(diǎn)E,當(dāng)△OED面積取得最小值時(shí),ED的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小圓O的半徑為1,△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3,…,△AnBnn依次為同心圓O的內(nèi)接正三角形和外切正三角形,由弦A1C1和弧A1C1圍成的弓形面積記為S1,由弦A2C2和弧A2C2圍成的弓形面積記為S2,…,以此下去,由弦Ann和弧Ann圍成的弓形面積記為Sn,其中S2020的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線,四邊形ADBE是平行四邊形.
(1)求證:四邊形ADBE是矩形;
(2)求矩形ADBE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某戶(hù)外看臺(tái)的截面圖,長(zhǎng)10m的看臺(tái)AB與水平地面AP的夾角為35°,與AP平行的平臺(tái)BC長(zhǎng)為1.9m,點(diǎn)F是遮陽(yáng)棚DE上端E正下方在地面上的一點(diǎn),測(cè)得AF=2m,在擋風(fēng)墻CD的點(diǎn)D處測(cè)得點(diǎn)E的仰角為26°,求遮陽(yáng)棚DE的長(zhǎng). (參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.57,cos35°≈0.82, sin26°≈0.44,cos26°≈0.90)
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