Question

【題目】設(shè)△ABC，點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)除外），若點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C中任意兩點(diǎn)的連線的夾角為直角時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，試說(shuō)明點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn)．

（2）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線CD上，若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn)，則CP＝　 　；

（3）如圖3，四邊形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．則點(diǎn)D能否是△ABC的勾股點(diǎn)，若能，求出BC的長(zhǎng)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）或或10；（3）點(diǎn)D可以是△ABC的勾股點(diǎn)，BC的長(zhǎng)是

【解析】

（1）根據(jù)勾股點(diǎn)的定義可得結(jié)論；

（2）若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn)，有三種情況：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，②當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，③當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，分別根據(jù)S△ACD＝S△ABC和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）存在，當(dāng)∠ADB＝90°時(shí)，點(diǎn)D是△ABC的勾股點(diǎn)，如圖5，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，證明△AED≌△DFB（AAS），得AE＝DF，根據(jù)等腰直角三角形計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得DF的長(zhǎng)，可得結(jié)論．

（1）∵∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，

∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣50°﹣10°﹣30°＝90°，

∴∠BPC＝90°，

∴點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn)；

（2）點(diǎn)P在射線CD上，若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn)，存在以下三種情況：

①如圖2，當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝10，

∵D是AB的中點(diǎn)，

∴CD＝AB＝5，

S△ACD＝S△ABC＝CDAP，

，

AP＝，

∴；

②如圖3，當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，

S△ACD＝S△ABC＝CDBP，

，

BP＝，

∴CP＝；

③如圖4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，

∵D是AB的中點(diǎn)，

∴PD＝AB＝5，

∴PC＝5+5＝10，

綜上，PC的長(zhǎng)是或或10；

故答案為：或或10；

（3）存在，

當(dāng)∠ADB＝90°時(shí)，點(diǎn)D是△ABC的勾股點(diǎn)，如圖5，過(guò)A作AE⊥CD，交直線CD于E，過(guò)B作BF⊥CD于F，

∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠BDF+∠DBF＝90°，

∴∠ADE＝∠DBF，

∵∠E＝∠F＝90°，AD＝BD，

∴△AED≌△DFB（AAS），

∴AE＝DF，

∵AD＝BD，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB＝45°，

∵∠BCD＝45°，

∴∠BCD＝∠DAB，

∴A、B、D、C四點(diǎn)共圓，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∵AC＝，

∴AE＝CE＝DF＝，

∴CF，

∴BC＝CE＝；

綜上，點(diǎn)D可以是△ABC的勾股點(diǎn)，BC的長(zhǎng)是．