Question

【題目】在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點F，點E是弧AD上一點，連BE交CD于點N，點P在CD的延長線上，PN＝PE．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）連接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OE，由等腰三角形的性質得出∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∠OEB＝∠OBE．證出∠OEB+∠PEN＝90°，即PE⊥OE，即可得出結論；

（2）連接CE，證出CE為⊙O的直徑．由垂徑定理得出CF＝DF，得出DE＝2OF＝6．求出OC＝OB＝5，CE＝10，由勾股定理得出CD＝8．設PD＝x，則PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理得出方程，解方程求出PD＝，由勾股定理即可得出答案．

（1）證明：連接OE，如圖1所示：

∵PN＝PE，

∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，

∵OE＝OB，

∴∠OEB＝∠OBE．

∵AB⊥CD，

∴∠OBE+∠BNF＝90°，

∴∠OEB+∠PEN＝90°，

即∠OEP＝90°，

∴PE⊥OE，

∴PE是⊙O的切線．

（2）解：連接CE，如圖2所示：

∵DE∥AB，AB⊥CD，

∴∠EDC＝90°

∴CE為⊙O的直徑．

∵AB⊥CD，

∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．

∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，

∴CD＝＝＝8，

由（1）知PE⊥CE．設PD＝x，則PC＝x+8．

在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2-CE2，

即x2+62＝（x+8）2-102，

解得：x＝，

∴PD＝．

∴PE＝＝＝，

∴PN＝PE＝．