Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）：y=﹣x2﹣2x+8；（2）點(diǎn)Q（﹣1，6）即為所求；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，8）．

【解析】

試題分析：（1）直接利用待定系數(shù)求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）首先求出直線BC的解析式，再利用軸對稱求最短路線的方法得出答案；

（3）根據(jù)S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣16，得出函數(shù)最值，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）將A（2，0），B（﹣4，0）代入得：

，

解得：，

則該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+8；

（2）如圖1，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，

將點(diǎn)B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：

，

解得：，

故直線BC解析式為：y=2x+8，

直線BC與拋物線對稱軸 x=﹣1的交點(diǎn)為Q，此時(shí)△QAC的周長最�。�

解方程組得，

則點(diǎn)Q（﹣1，6）即為所求；

（3）如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

P點(diǎn)（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）

∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣16

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC

=BEPE+OE（PE+OC）

=（x+4）（﹣x2﹣2x+8）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）

=﹣2（x+2）2+24，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，S四邊形BPCO最大值=24，

∴S△BPC最大=24﹣16=8，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，﹣x2﹣2x+8=8，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，8）．