【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF．

（1）求證：△ADF≌△CEF；

（2）試證明△DFE是等腰直角三角形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中點，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可證明：△ADF≌△CEF．

（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可證明△DFE是等腰直角三角形．

證明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

又∵F是AB中點，

∴∠ACF=∠FCB=45°，

即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，

在△ADF與△CEF中，，

∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，

∴DF=FE，

∴△DFE是等腰三角形，

又∵∠AFD=∠CFE，

∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，

∴∠AFC=∠DFE，

∵∠AFC=90°，

∴∠DFE=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．

練習冊系列答案
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A.（80－x）（60－x）=1500

B.（80－2x）（60－2x）=1500

C.（80－2x）（60－x）=1500

D.（80－x）（60－2x）=1500

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A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

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（1）如圖（1），若A（0，1），B（2，0），求C點的坐標；

（2）如圖（2），當?shù)妊黂t△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE

（3）如圖（3），在等腰Rt△ABC不斷運動的過程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

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【題目】已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，則該三角形的周長為（ ）

A．8 B．10 C．8或10 D．12

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（3）在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若不存，請說明理由．

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