Question

（1）閱讀理解：
我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務(wù)可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為P，
“寬臂”的寬度=PQ=QR=RS，（這個條件很重要哦！）勾尺的一邊MN滿足M，N，Q三點共線（所以PQ⊥MN）．
下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：
第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；
第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點P落在DE上，使勾尺的MN邊經(jīng)過點B，同時讓點R落在∠ABC的BA邊上；
第三步：標(biāo)記此時點Q和點P所在位置，作射線BQ和射線BP．
請完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線

 

、

 

．
（2）在（1）的條件下補全三等分∠ABC的主要證明過程：
∵

 

，BQ⊥PR，
∴BP=BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）
∴∠

 

=∠

 

．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠

 

=∠

 

．
（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）
∴∠

 

=∠

 

=∠

 

．
（3）在（1）的條件下探究：∠ABS=

1

3

∠ABC是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請在圖2中∠ABC的外部畫出∠ABV=

1

3

∠ABC（無需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)圖形可知BP、BQ是角的三等分線；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等和角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上結(jié)合圖形填空即可；
（3）根據(jù)閱讀材料進(jìn)行判斷并作出圖形．

解答：解：（1）∠ABC的三等分線是射線是BP、BQ；

（2）∵PQ=QR，BQ⊥PR，
∴BP=BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）
∴∠ABQ=∠PBQ．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠PBQ=∠PBC．
（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）
∴∠ABQ=∠PBQ=∠PBC．
故答案為：（1）BP，BQ；（2）PQ=QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；

（3）在（1）的條件下探究：∠ABS=

1

3

∠ABS不成立，
在∠ABC外部所畫∠ABV=

1

3

∠ABC如圖．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，主要利用了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．